3. 第三章

3. 第三章

3.1 线性定常系统齐次状态方程的解

齐次状态方程就是输入为0的状态方程，如下所示。

\begin{matrix} (1) & \dot{x} (t) = A x (t) \end{matrix}

$\left.\boldsymbol{x}(t)\right|_{t=t_{0}}=\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)$ 的解为：

\begin{matrix} (2) & x (t) = e^{A (t - t_{0})} x (t_{0}) \end{matrix}

$t_0=0$ 的时候，有：

\begin{matrix} (3) & x (t) = e^{A t} x (0) \end{matrix}

这个东西叫做零输入解或零输入响应！

3.2 矩阵指数

3.2.1 矩阵指数的性质

矩阵指数的导数：

\begin{matrix} (4) & \frac{d}{d t} e^{A t} = A e^{A t} = e^{A t} A \end{matrix}

$t_1$ $t_2$ 为独立的自变量，则：

\begin{matrix} (5) & e^{A (t_{1} + t_{2})} = e^{A t_{1}} e^{A t_{2}} \end{matrix}

趋向0：

\begin{matrix} (6) & lim_{t \to 0} e^{A t} = I \end{matrix}

逆矩阵：

\begin{matrix} (7) & {(e^{A t})}^{- 1} = e^{- A t} \end{matrix}

$n \times n$ $A$ $B$ $A$ $B$ 是可交换的，即：

\begin{matrix} (8) & A B = B A \end{matrix}

则：

\begin{matrix} (9) & e^{(A + B) t} = e^{A t} e^{B t} \end{matrix}

3.2.2 几个特殊的矩阵指数

如果A为对角矩阵：

\begin{matrix} (10) & \begin{matrix} A = [\begin{array}{cccc} λ_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & λ_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & λ_{n} \end{array}] \Rightarrow e^{A t} = [\begin{array}{cccc} e_{1}^{λ_{1} t} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & e^{λ_{2} t} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & e^{λ_{n} t} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

如果A为mxm的Jordan块：

\begin{matrix} (11) & \begin{matrix} A = {[\begin{array}{lllll} λ & 1 & 0 \\ λ & ⋱ \\ ⋱ \\ λ & 1 \\ 0 & λ \end{array}]}_{m \times m} \Rightarrow e^{A t} = e^{λ t} {[\begin{array}{ccccc} 1 & t & \frac{t^{2}}{2!} & \dots & \frac{t^{m - 1}}{(m - 1)!} \\ 1 & t & ⋱ & \frac{t^{m - 2}}{(m - 2)!} \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ t \\ 0 & 1 \end{array}]}_{m \times m} \end{matrix} \end{matrix}

Note: 先写1，然后后面就是泰勒展开相同的形式。

如果A时有多个Jordan块构成的：

\begin{matrix} (12) & \begin{matrix} A = [\begin{array}{cccc} A_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & A_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & A_{j} \end{array}] \Rightarrow e^{A_{t}} = [\begin{array}{cccc} e^{A_{1} t} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & e^{A_{2} t} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & e^{A_{j} t} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

这个很好理解。

如果A是一个特殊形式（重要）：

\begin{matrix} (13) & \begin{matrix} A = [\begin{array}{rr} σ & ω \\ - ω & σ \end{array}] \Rightarrow e^{A t} = e^{σ t} [\begin{array}{rr} \cos ω t & \sin ω t \\ - \sin ω t & \cos ω t \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

3.2.3 矩阵指数的计算

第一种方法：直接按照定义计算法

略

第二种方法：拉普拉斯变换法

公式：

\begin{matrix} (14) & e^{A t} = L^{- 1} [(s I - A)^{- 1}] \end{matrix}

第三种方法：把A化成对角型或者Jordan型

其实就是求P，这个第二章已经会了，但是要注意。

在第二章里面，如果要求A转化后的矩阵，是P逆AP，但是现在要求矩阵指数，是：PAP逆，注意顺序‼️

公式：

\begin{matrix} (15) & \begin{matrix} e^{A t} = P [\begin{array}{cccc} e_{1}^{λ_{1} t} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & e^{λ_{2} t} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & e^{λ_{n} t} \end{array}] P^{- 1} \end{matrix} \end{matrix}

$n$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 两两互异。

如果有重根也是同理，也是把P求出来就行了

\begin{matrix} (16) & \begin{matrix} A = P [\begin{array}{llllll} λ_{1} & 1 & 0 \\ λ_{1} & 1 \\ λ_{1} \\ λ_{2} & 1 \\ λ_{2} \\ 0 & λ_{3} \end{array}] P^{- 1} \Rightarrow e^{A t} = P [\begin{array}{cccccc} e^{λ_{1} t} & t e^{λ_{1} t} & \frac{1}{2} t^{2} e^{λ_{1} t} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{λ_{1} t} & t e^{λ_{1} t} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{λ_{1} t} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{λ_{2} t} & t e^{λ_{2} t} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & e^{λ_{2} t} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e^{λ_{3} t} \end{array}] P^{- 1} \end{matrix} \end{matrix}

$e^{At}$ 为 A 的有限项法

$\mathrm{e}^{A t}$ $\boldsymbol{A}^{k}(k=0,1,2, \cdots, n-1)$ 的一个多项式：

\begin{matrix} (17) & e^{A t} = a_{0} (t) I + a_{1} (t) A + \dots + a_{n - 1} (t) A^{n - 1} \end{matrix}

$\boldsymbol{A}$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ $a_{0}(t), a_{1}(t), \cdots, a_{n-1}(t)$ 可按下式计算：

\begin{matrix} (18) & \begin{matrix} [\begin{matrix} a_{0} (t) \\ a_{1} (t) \\ ⋮ \\ a_{n - 1} (t) \end{matrix}] = {[\begin{array}{cccc} 1 & λ_{1} & \dots & λ_{1}^{n - 1} \\ 1 & λ_{2} & \dots & λ_{2}^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & λ_{n} & \dots & λ_{n}^{n - 1} \end{array}]}^{- 1} [\begin{matrix} e_{1} t \\ e^{λ_{2} t} \\ ⋮ \\ e^{λ_{n} t} \end{matrix}] \end{matrix} \end{matrix}

注意，要先把多项式列出来，然后再用矩阵去算多项式的系数。

$\boldsymbol{A}$ $\lambda_{1} (三重), \lambda_{2} (二重), \lambda_{3}, \cdots , \lambda_{n-3}$ $a_{0}(t), a_{1}(t), \cdots, a_{n-1}(t)$ 可按下式计算:

\begin{matrix} (19) & \begin{matrix} [\begin{matrix} a_{0} (t) \\ a_{1} (t) \\ a_{2} (t) \\ a_{3} (t) \\ a_{4} (t) \\ a_{5} (t) \\ ⋮ \\ a_{n - 1} (t) \end{matrix}] = {[\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 1 & 3 λ_{1} & \dots & \frac{(n - 1) (n - 2)}{2!} λ_{1}^{n - 3} \\ 0 & 1 & 2 λ_{1} & 3 λ_{1}^{2} & \dots & \frac{(n - 1)}{1!} λ_{1}^{n - 2} \\ 1 & λ_{1} & λ_{1}^{2} & λ_{1}^{3} & \dots & λ_{1}^{n - 1} \\ 0 & 1 & 2 λ_{2} & 3 λ_{2}^{2} & \dots & \frac{(n - 1)}{1!} λ_{2}^{n - 2} \\ 1 & λ_{2} & λ_{2}^{2} & λ_{2}^{3} & \dots & λ_{2}^{n - 1} \\ 1 & λ_{3} & λ_{3}^{2} & λ_{3}^{3} & \dots & λ_{3}^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & λ_{n - 3} & λ_{n - 3}^{2} & λ_{n - 3}^{3} & \dots & λ_{n - 3}^{n - 1} \end{array}]}^{- 1} [\begin{matrix} \frac{1}{2!} t^{2} e^{λ_{1} t} \\ \frac{1}{1!} t e^{λ_{1} t} \\ e^{λ_{1} t} \\ \frac{1}{1!} t e^{λ_{2} t} \\ e^{λ_{2} t} \\ e^{λ_{3} t} \\ ⋮ \\ e^{λ_{n - 3} t} \end{matrix}] \end{matrix} \end{matrix}

3.3 线性定常连续系统非齐次状态方程的解

前面讨论的，都是零输入响应

也就是

\begin{matrix} (20) & \dot{x} (t) = A x (t) \end{matrix}

求出来的解。

如果加上输入，就是：

\begin{matrix} (21) & \dot{x} (t) = A x (t) + B u (t) \end{matrix}

所以解的一般形式是：

\begin{matrix} (22) & x (t) = e^{A (t - t_{0})} x (t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} e^{A (t - τ)} B u (τ) d τ, t ⩾ t_{0} \end{matrix}

前面部分就是零输入响应，后面部分就是零状态响应。

3.4 线性定常系统的状态转移矩阵

3.4.1 基本概念

$\boldsymbol{\Phi}\left(t, t_{0}\right)$ $\boldsymbol{\Phi}\left(t-t_{0}\right)$ 表示。

状态方程：

\begin{matrix} (23) & \dot{x} (t) = A x (t) + B u (t), x (t_{0}) = x_{0}, t ⩾ t_{0} \end{matrix}

的解可以表示为：

\begin{matrix} (24) & x (t) = Φ (t - t_{0}) x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} Φ (t - t_{0}) B u (τ) d τ, t ⩾ t_{0} \end{matrix}

3.4.2 线性定常系统的状态转移矩阵

状态转移矩阵的定义：

满足如下矩阵方程：

\begin{matrix} (25) & \dot{Φ} (t - t_{0}) = A Φ (t - t_{0}), Φ (0) = I, t ⩾ t_{0} \end{matrix}

$\boldsymbol{\Phi}\left(t-t_{0}\right)$ 为系统的状态转移矩阵。

基本解阵的定义：

$n$ $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A x}$ $n$ $n$ $n \times n$ $\Psi(t)$ $\Psi(t)$ $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ $\Psi(t)$ 满足如下的矩阵方程：

\begin{matrix} (26) & \dot{Ψ} (t) = A Ψ (t), Ψ (t_{0}) = H, t ⩾ t_{0} \end{matrix}

$H$ 为非奇异实常值矩阵。

状态转移矩阵与基本解阵的关系：

\begin{matrix} (27) & Φ (t - t_{0}) = Ψ (t) Ψ^{- 1} (t_{0}), t ⩾ t_{0} \end{matrix}

状态转移矩阵的形式：

$t_0 \neq 0$ 的时候：

\begin{matrix} (28) & Φ (t - t_{0}) = e^{Λ (t - t_{0})}, t ⩾ t_{0} \end{matrix}

$t_0 = 0$ 的时候：

\begin{matrix} (29) & Φ (t) = e^{A t}, t ⩾ 0 \end{matrix}

状态转移矩阵的唯一性：

状态转移矩阵是唯一的，和选取的基本解阵无关。

3.6 线性连续系统的时间离散化

3.6.1 近似离散化

这一部分设计了时变，不一定考。

给定线性连续时变系统的状态方程为：

\begin{matrix} (30) & \dot{x} (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t) \end{matrix}

在采样周期T比较小的时候，对精读要求不高可以用近似离散化。

结论：

\begin{matrix} (31) & G (k T) = I + T A (k T), H (k T) = T B (k T) \end{matrix}

3.6.2 线性连续系统状态方程的离散化

时变部分直接略过。

定常系统结论：

\begin{matrix} (32) & \begin{matrix} \dot{x} = A x + B u, x (t_{0}) = x_{0}, t ⩾ t_{0} \\ x (k + 1) = G x (k) + H u (k), x (0) = x_{0}, k = 0, 1, 2, \dots \end{matrix} \end{matrix}

结论：

\begin{matrix} (33) & \begin{matrix} x (k) = [x (t)]_{t = k T}, u (k) = [u (t)]_{t = k T} \\ G = e^{A T} \\ H = (\int_{0}^{T} e^{A t} d t) B \end{matrix} \end{matrix}

3.7 离散时间系统状态方程的解

3.7.1 解的形式

\begin{matrix} (34) & x (k) = G^{k} x (0) + \sum_{i = 0}^{k - 1} G^{k - i - 1} H u (i) \end{matrix}

上面这个式子叫做线性定常离散时间系统的解。也是两部分组成，第一部分是零输入响应，第二部分是零状态响应。

$G^k$ $G^k$ $\boldsymbol{\Phi}(k)$ ，有如下性质，和连续的是一样的。

它满足矩阵差分方程

\begin{matrix} (35) & Φ (k + 1) = G Φ (k) \end{matrix}

和下面这些条件

\begin{matrix} (36) & \begin{array}{l} Φ (0) = I \\ Φ (k_{2} - k_{0}) = Φ (k_{2} - k_{1}) Φ (k_{1} - k_{0}) \\ Φ^{- 1} (k) = Φ (- k) \end{array} \end{matrix}

$\boldsymbol{\Phi}(k)$ 可将式子改写为

\begin{matrix} (37) & x (k) = Φ (k) x (0) + \sum_{i = 0}^{k - 1} Φ (k - i - 1) H u (i) \end{matrix}

或

\begin{matrix} (38) & x (k) = Φ (k) x (0) + \sum_{i = 0}^{k - 1} Φ (j) H u (k - j - 1) \end{matrix}

3.7.2 z变换法

对于线性定常离散时间系统，还可以采用z变换法来求解状态方程。

结论：

\begin{matrix} (39) & \begin{matrix} Z^{- 1} [(z I - G)^{- 1} z] = G^{k} \\ Z^{- 1} [(z I - G)^{- 1} H u (z)] = \sum_{i = 0}^{k - 1} G^{k - i - 1} H u (i) \end{matrix} \end{matrix}

$u(k)=1$ $u(z) = z / (z-1)$ 去看看常用的z变换。