2. 第二章

2. 第二章

2.0 重点

根据状态空间表达式求系统的传递函数，由高阶微分方程化为状态空间描述
根据方框图列写系统的状态空间表达式，传递函数矩阵的不变性p35，p51‼️

2.1 基本概念

状态变量，状态向量，状态空间，状态方程，状态空间表达式的概念

非线性系统的状态空间描述

\begin{matrix} (1) & \begin{matrix} {\begin{cases} \dot{x} = f (x, u, t) \\ y = g (x, u, t) \end{cases} \end{matrix} \end{matrix}

线性系统的状态空间描述

\begin{matrix} (2) & \begin{matrix} {\begin{cases} \dot{x} = A (t) x + B (t) u \\ y = C (t) x + D (t) u \end{cases} \end{matrix} \end{matrix}

带t是时变的，不带t就是定常。

离散系统的状态空间描述

\begin{matrix} (3) & \begin{matrix} {\begin{cases} x (k + 1) = f (x (k), u (k), k), \\ y (k) = g (x (k), u (k), k), \end{cases} k = 0, 1, 2, \dots \end{matrix} \end{matrix}

如果是线性的

\begin{matrix} (4) & \begin{matrix} {\begin{cases} x (k + 1) = G (k) x (k) + H (k) x (k), \\ y (k) = C (k) x (k) + D (k) u (k), \end{cases} k = 0, 1, 2, \dots \end{matrix} \end{matrix}

写状态空间表达式的时候，写状态方程的时候： 微分放左边，没有微分的放右边

状态空间描述非唯一性：

这个要记住怎么用P变换的公式

\begin{matrix} (5) & \begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x \end{array} \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \dot{\bar{x}} & = P^{- 1} \dot{x} = P^{- 1} [A x + B u] \\ = P^{- 1} A P \overset{―}{x} + P^{- 1} B u = \overset{―}{A} \overset{―}{x} + \overset{―}{B} u \\ y & = C x = C \overset{―}{x} = \overset{―}{C} \overset{―}{x} \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \overset{―}{A} = P^{- 1} A P, \overset{―}{B} = P^{- 1} B, \overset{―}{C} = C P \end{matrix}

最后这个公式很重要！记住，A是前逆后不逆，B是前逆，C是后不逆。

如何画状态变量图： 先画积分器，再画其他的。

例子：

\begin{matrix} (8) & \begin{matrix} {\begin{cases} {\dot{x}}_{1} = a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + b_{11} u_{1} + b_{12} u_{2} \\ {\dot{x}}_{2} = a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + b_{21} u_{1} + b_{22} u_{2} \end{cases} \end{matrix} \end{matrix}

2.2 传递函数与传递函数矩阵

单输入单输出系统

直接看结论

\begin{matrix} (9) & \begin{matrix} {\begin{cases} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{cases} \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & g (s) = \frac{Y (s)}{U (s)} = C (s I - A)^{- 1} B + D \end{matrix}

一些结论：

系统矩阵A的特征多项式就是传递函数的的分母多项式。
传递函数的极点就是矩阵A的特征值。
$\boldsymbol{C a d j}(s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{B}$ $D|s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|$ $N(s)$ 。
状态变量不同，同一系统的状态空间描述是不唯一的，但是传递函数是唯一的。

多输入多输出也是一样的

2.3 状态空间表达式的建立

2.3.1 从物理系统直接建立

2.3.2 从高阶微分方程建立

高阶微分方程的写法：

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} y^{(n)} + a_{1} y^{(n - 1)} + a_{2} y^{(n - 2)} + \dots + a_{n - 1} \dot{y} + a_{n} y \\ = & b_{0} u^{(m)} + b_{1} u^{(m - 1)} + \dots + b_{m - 1} \dot{u} + b_{m} u \end{aligned} \end{matrix}

$a_0$ $a_1$ 开始，然后左边最高阶项系数一定是1。

$b_0$ 的。

m<n时

$m=0$ 时：

\begin{matrix} (12) & y^{(n)} + a_{1} y^{(n - 1)} + a_{2} y^{(n - 2)} + \dots + a_{n - 1} \dot{y} + a_{n} y = u \end{matrix}

这个直接记结论：

选取状态变量：

\begin{matrix} (13) & \begin{matrix} {\begin{matrix} x_{1} = y \\ x_{2} = \dot{y} \\ ⋮ \\ x_{n} = y^{(n - 1)} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}

得到表达式：

\begin{matrix} (14) & \begin{matrix} {\begin{aligned} {\dot{x}}_{1} & = x_{2} \\ {\dot{x}}_{2} & = x_{3} \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n} & = - a_{n} x_{1} - a_{n - 1} x_{2} - \dots - a_{1} x_{n} + u \end{aligned} \end{matrix} \end{matrix}

输出方程：

\begin{matrix} (15) & y = x_{1} \end{matrix}

所以此时的状态空间描述：

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} \dot{x} & = [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{n} & - a_{n - 1} & \dots & - a_{1} \end{array}] x + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] u \\ y & = [1, 0, \dots, 0, 0, \dots, 0] x \end{aligned} \end{matrix}

这个要记住！

$m!=0$ 时：

这里要引入算子符号来讨论，具体可以见p23

$m<n$ 的时候

能控制标准型：

\begin{matrix} (17) & \begin{matrix} \dot{x} = A x + B u = [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{n} & - a_{n - 1} & \dots & - a_{1} \end{array}] x + [\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] u \\ y = C x = [b_{m}, \dots, b_{0}, 0, \dots, 0] x \end{matrix} \end{matrix}

比如：

\begin{matrix} (18) & y^{(3)} + 16 y^{(2)} + 194 y^{(1)} + 640 y = 160 u^{(1)} + 720 u \end{matrix}

的能控标准型：重要‼️p24

\begin{matrix} (19) & \begin{array}{l} [\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{matrix}] = [\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 640 & - 194 & - 16 \end{array}] x + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] u \\ y = [\begin{array}{lll} 720 & 160 & 0 \end{array}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] \end{array} \end{matrix}

能观标准型：

\begin{matrix} (20) & \begin{matrix} \dot{x} = A x + B u = [\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \dots & 0 & - a_{n} \\ 1 & 0 & \dots & 0 & - a_{n - 1} \\ 0 & 1 & \dots & 0 & - a_{n - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 & - a_{1} \end{array}] x + [\begin{matrix} b_{m} \\ b_{m - 1} \\ ⋮ \\ b_{0} \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}] u \\ y = C = [\begin{array}{llll} 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}] x \end{matrix} \end{matrix}

能观的A是能控的A的转置，能观的C是能控的B的转置，能观的B是能控的C的转置

\begin{matrix} (21) & \begin{aligned} A_{c}^{T} & = A_{\circ} \\ B_{c}^{T} & = C_{\circ} \end{aligned} \end{matrix}

m=n时

\begin{matrix} (22) & \begin{array}{l} \dot{x} = [\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{n} & - a_{n - 1} & - a_{n - 2} & \dots & - a_{1} \end{array}] x + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] u \\ y = [\begin{array}{lll} (b_{n} - b_{0} a_{n}) & \dots & (b_{1} - b_{0} a_{1}) \end{array}] x + b_{0} u \end{array} \end{matrix}

例子：

\begin{matrix} (23) & y^{(3)} + 16 y^{(2)} + 194 y^{(1)} + 640 y = 4 u^{(3)} + 160 u^{(1)} + 720 u \end{matrix}

结果：

\begin{matrix} (24) & \begin{array}{l} [\begin{array}{c} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 640 & - 194 & - 16 \end{array}] x + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] u \\ y = [\begin{array}{lll} - 1840 & - 616 & - 64 \end{array}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] + 4 u \end{array} \end{matrix}

遇到这种题，一定要把a3, a2, a1, b3, b2, b1, b0都列出来！

2.3.3 由传递函数建立

g(s)要求是真分式，如果m=n，就要把常数项化出来。

只有当m=n的时候，才会有输入与输出间的直接传递项，一般情况都是严格真分式。

一般也是只讨论真分式。

\begin{matrix} (25) & g (s) = \frac{Y (s)}{U (s)} = \frac{b_{1} s^{n - 1} + \dots + b_{n - 1} s + b_{n}}{s^{n} + a_{1} s^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} s + a_{n}} \end{matrix}

直接分解

直接分解的推导过程我觉得要会。

$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ , 于是状态空间表达式为：

\begin{matrix} (26) & \begin{matrix} [\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n} \end{matrix}] = [\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{n} & - a_{n - 1} & - a_{n - 2} & \dots & - a_{1} \end{array}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] u \\ y = [\begin{array}{llll} b_{n} & b_{n - 1} & \dots & b_{1} \end{array}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] \end{matrix} \end{matrix}

要注意啊，现在这种表达式，公式25刚好分子比分母少一项，上面是b1-bn, 下面是a1-an要注意。

串联分解

\begin{matrix} (27) & g (s) = \frac{b_{1} (s - z_{1}) (s - z_{2}) \dots (s - z_{n - 1})}{(s - p_{1}) (s - p_{2}) \dots (s - p_{n})} \end{matrix}

要注意，上面刚好比下面少一维！

\begin{matrix} (28) & \begin{aligned} g (s) & = \frac{Y (s)}{U (s)} = \frac{b_{1} (s - z_{2}) (s - z_{3})}{(s - p_{1}) (s - p_{2}) (s - p_{3})} \\ = \frac{b_{1}}{(s - p_{1})} \frac{(s - z_{2})}{(s - p_{2})} \frac{(s - z_{3})}{(s - p_{3})} \end{aligned} \end{matrix}

要记住两种表达式对应的画法！

$\frac{b_1}{s-p_1}$ $\frac{s-z_2}{s-p_2}$ ，这个要记住。

状态变量就是每个积分器的输出。

\begin{matrix} (29) & \begin{matrix} [\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} p_{1} & 0 & 0 \\ 1 & p_{2} & 0 \\ 1 & p_{2} - z_{2} & p_{3} \end{array}] [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{l} b_{1} \\ 0 \\ 0 \end{array}] u \\ y = [\begin{array}{lll} 1 & p_{2} - z_{2} & p_{3} - z_{3} \end{array}] [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

结论直接记住！

并联分解

这个很好记，就是对角+若尔当型。

传递函数的极点互不相同的情况：对角形

注意：如何求c？

\begin{matrix} (30) & c_{i} = lim (s - p_{i}) g (s), i = 1, 2, \dots, n \end{matrix}

\begin{matrix} (31) & g (s) = \frac{c_{1}}{s - p_{1}} + \frac{c_{2}}{s - p_{2}} + \dots + \frac{c_{n}}{s - p_{n}} \end{matrix}

推导过程看看书p31

\begin{matrix} (32) & \begin{matrix} [\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n} \end{matrix}] = [\begin{array}{cccc} p_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & p_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & p_{n} \end{array}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}] u \\ y = [\begin{array}{llll} c_{1} & c_{2} & \dots & c_{n} \end{array}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] \end{matrix} \end{matrix}

这个就是结论，直接记住，就是对角型。

传递函数具有重极点的情况

就是若尔当+对角

注意，如何求c？

\begin{matrix} (33) & c_{1 j} = \frac{1}{(j - 1)!} lim_{s \to p_{1}} \frac{d^{j - 1}}{d s^{j - 1}} {{(s - p_{1})}^{r} g (s)}, j = 1, 2, \dots, r \end{matrix}

\begin{matrix} (34) & \begin{aligned} g (s) = & \frac{c_{11}}{{(s - p_{1})}^{r}} + \frac{c_{12}}{{(s - p_{1})}^{r - 1}} + \dots + \frac{c_{1 r}}{s - p_{1}} \\ + \frac{c_{r + 1}}{s - p_{r + 1}} + \dots + \frac{c_{n}}{s - p_{n}} \end{aligned} \end{matrix}

要记住，重根重了多少维，若尔当块就是几维的。

重要例题

\begin{matrix} (35) & g (s) = \frac{2 s^{2} + 5 s + 1}{s^{3} - 6 s^{2} + 12 s - 8} \end{matrix}

\begin{matrix} (36) & \begin{array}{l} c_{11} = lim_{s \to 2} {(s - p_{i})}^{3} g (s) = lim_{t \to 2} (2 s^{2} + 5 s + 1) = 19 \\ c_{12} = lim_{s \to 2} \frac{d}{d s} [{(s - p_{i})}^{3} g (s)] = lim_{t \to 2} (4 s + 5) = 13 \\ c_{13} = \frac{1}{2!} lim_{s \to 2} \frac{d^{2}}{d s^{2}} [{(s - p_{i})}^{3} g (s)] = lim_{t \to 2} \frac{4}{2!} = 2 \end{array} \end{matrix}

这一部分求c的过程很重要！要记住，要复习！p34‼️

c11-c13是从阶数从3-1的
$\frac{1}{0!}$ $\frac{1}{1!}$ $\frac{1}{2!}$
然后c11里面是0次导，c12是1次导，c13是2次导
$(s-2)^3$

2.4 组合系统的状态空间表达式

多个系统的状态空间表达式和传递函数矩阵分别为：

\begin{matrix} (37) & \begin{matrix} Σ_{i} : \begin{array}{l} {\dot{x}}_{i} = A_{i} x_{i} + B_{i} u_{i} \\ y_{i} = C_{i} x_{i} + D_{i} u_{i} \end{array}, i = 1, 2 \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} (38) & G_{i} (s) \end{matrix}

2.4.1 并联

直接记结论：

状态空间：

\begin{matrix} (39) & \begin{matrix} Σ_{p} : [\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \end{array}] = [\begin{array}{cc} A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2} \end{array}] [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{l} B_{1} \\ B_{2} \end{array}] u \\ y = [\begin{array}{ll} C_{1} & C_{2} \end{array}] [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [D_{1} + D_{2}] u \end{matrix} \end{matrix}

传递函数：

\begin{matrix} (40) & G (s) = \sum_{i = 1}^{N} G_{i} (s) \end{matrix}

2.4.2 串联

要满足要求，前一个的输出维度要等于后一个的输入维度，这个也很好理解，不然矩阵搞不到一起

状态空间：

\begin{matrix} (41) & \begin{matrix} Σ_{T} : [\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \end{array}] = [\begin{array}{cc} A_{1} & 0 \\ B_{2} C_{1} & A_{2} \end{array}] [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{matrix} B_{1} \\ B_{2} D_{1} \end{matrix}] u \\ y = [\begin{array}{ll} D_{2} C_{1} & C_{2} \end{array}] [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + D_{2} D_{1} u \end{matrix} \end{matrix}

传递函数：

\begin{matrix} (42) & G (s) = G_{1} (s) G_{2} (s) \end{matrix}

2.4.3 反馈

要求：

\begin{matrix} (43) & d i m (y_{1}) = d i m (u_{2}) 和 d i m (y_{2}) = d i m (u_{1}) \end{matrix}

这个都是很好理解的。

动态反馈

直接记住结论：

状态方程：

\begin{matrix} (44) & \begin{array}{l} [\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \end{matrix}] = [\begin{array}{cc} A_{1} & - B_{1} C_{2} \\ B_{2} C_{1} & A_{2} \end{array}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] + [\begin{array}{c} B_{1} \\ 0 \end{array}] u \\ y = [\begin{array}{ll} C_{1} & 0 \end{array}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] \end{array} \end{matrix}

传递函数：

\begin{aligned} (45) & G (s) & = G_{1} (s) {[I + G_{2} (s) G_{1} (s)]}^{- 1} \\ (46) & G (s) & = {[I + G_{1} (s) G_{2} (s)]}^{- 1} G_{1} (s) \end{aligned}

要记住，很重要！注意1和2的顺序！

如果逆矩阵在前面，就是1在前面，如果逆矩阵在后面，就是2在前面。

常数反馈

\begin{matrix} (47) & \begin{matrix} {\begin{aligned} \dot{x} & = A x + B (u - H y) \\ = (A - B H C) x + B u \\ y & = C x \end{aligned} \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} (48) & \begin{matrix} G (s) = G_{0} (s) {[I + H G_{0} (s)]}^{- 1} \\ G (s) = {[I + G_{0} (s) H]}^{- 1} G_{0} (s) \end{matrix} \end{matrix}

要记住结论！

2.4.4 重要例题

记住，误差函数e1，e2很重要，他就是矩阵A的构成！

2.5 线性变换

这一部分很重要，估计有计算题

2.5.2 化成对角型

这一部分比较熟悉了，求P即可，然后一定有n个特征值（互不相同），这个很熟了

就需要注意一个特殊情况。

如果矩阵A是友矩阵，可以直接得出P是Vandermonde矩阵。

比如p47的例题。

\begin{matrix} (49) & \begin{matrix} A = [\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{n} & - a_{n - 1} & - a_{n - 2} & \dots & - a_{1} \end{array}] \Rightarrow P = [\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \dots & 1 \\ λ_{1} & λ_{2} & \dots & λ_{n} \\ λ_{1}^{2} & λ_{2}^{2} & \dots & λ_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ λ_{1}^{n - 1} & λ_{2}^{n - 1} & \dots & λ_{n}^{n - 1} \end{array}] \end{matrix} \end{matrix}

2.5.3 化成Jordan型

这一部分也是比较熟悉的，要注意：

有重根也有可能化成对角，p49
求广义特征向量的方法，p50‼️

2.5.4 特征值和传递函数矩阵的不变性

这个证明很简单。

原来是：

\begin{matrix} (50) & G (s) = C (s I - A)^{- 1} B + D \end{matrix}

现在是：

\begin{matrix} (51) & \overset{―}{G} (s) = \overset{―}{C} (s I - \overset{―}{A})^{- 1} \overset{―}{B} + \overset{―}{D} \end{matrix}

带进去就能证明：

\begin{matrix} (52) & \begin{aligned} \overset{―}{G} (s) & = \overset{―}{C} (s I - \overset{―}{A})^{- 1} \overset{―}{B} + \overset{―}{D} \\ = C P {(s I - P^{- 1} A P)}^{- 1} P^{- 1} B + D \\ = C P {(s P^{- 1} P - P^{- 1} A P)}^{- 1} P^{- 1} B + D \\ = C P {[P^{- 1} (s I - A) P]}^{- 1} P^{- 1} B + D \\ = C P P^{- 1} (s I - A)^{- 1} P P^{- 1} B + D \\ = C (s I - A)^{- 1} B + D \\ = G (s) \end{aligned} \end{matrix}

特征值的不变性也是一样，带进去就行了，很简单，p52.

2.6 离散事件系统的状态空间表达式

一样的

看看p55的例题。